Question

11．如图，已知在圆心角为120的扇形AOB中，点C，D，E都在扇形AOB的弧上，且AC=DE=2$\sqrt{3}$，CD=EB=2，则这个扇形的面积为$\frac{28}{3}$π．

Answer 1

分析 连接AD，作DF垂直于AC的延长线于F，先证得△AOD是等边三角形，得出AD等于半径，解直角三角形求得DF=1，CF=$\sqrt{3}$，然后根据勾股定理即可求得AD（半径），然后根据扇形的面积公式即可求得．

解答 解：连接AD，作DF垂直于AC的延长线于F，
∵圆心角为120的扇形AOB中，AC=DE=2$\sqrt{3}$，CD=EB=2，
∴∠AOD=60°，
∴∠ACD=150°，
∴∠FCD=30°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=OD，
∵∠AFD=90°，CD=2，∠FCD=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=1，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∴AF=AC+CF=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴扇形的半径为2$\sqrt{7}$，
∴S=$\frac{120π×（2\sqrt{7）^{2}}}{360}$=$\frac{28}{3}$π．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理的应用研究扇形的面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．