Question

14．如图，在四边形ABCD中，点E．F．G．H分别为四边形ABCD各边的中点，顺次连接点E．F．G．H，
（1）试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
（2）如果四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是什么形状？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线得到HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，推出EF=GH，EF∥GH，根据平行四边形的判定求出即可．
（2）由三角形中位线定理得到FE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$BD，则由矩形的对角线相等易推知平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH是菱形．

解答 解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）如果四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是菱形．理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形．
∵E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴FE=$\frac{1}{2}$AC，
同理，EH=$\frac{1}{2}$BD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．

点评 本题主要考查对平行四边形的判定，三角形的中位线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能推出EF=GH和EF∥GH是解此题的关键．