Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AD=2

6

，AE=6

2

，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）由切割线定理，得：AE²=AD•AB，根据切割线定理即可求出BD的长，由此得解．

解答：（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CBE，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE²=AD×AB，
∵AD=2

6

，AE=6

2

，
∴（6

2

）²=2

6

×（2

6

+BD），
解得：BD=4

6

．
∴BD的长是：4

6

．

点评：此题主要考查了切线的判定定理与切割线定理，此定理是初中阶段非常重要的定理，同学们应正确把握此定理．