Question

7．如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C为圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．
（1）填空：∠DCE=60度，CN=5cm，AM=4$\sqrt{3}$cm．
（2）如图1，当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长（写出计算过程）
（3）如图2，当点D在MA的延长线上时，你认为PQ的长度是多少？（写出计算过程）
（4）当点D在AM的延长线上时，你认为PQ的长度是多少？（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=8，AM⊥BC，CM=4，∠MAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，再利用旋转的性质得旋转角为60°，则∠DCE=60°，然后根据勾股定理可分别计算出CN=5，AM=4$\sqrt{3}$；
（2）作CH⊥BE于点H，连结CQ，如图1，根据垂径定理得到PH=QH，由半径相等得到CQ=CN=5，由于△CBE是由△CAD旋转得到，利用旋转的性质得到∠CBE=∠CAD=30°，则在Rt△CBH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=$\frac{1}{2}$BC=4，然后在Rt△CHQ中利用勾股定理可计算出QH=3，从而得到PQ=2HQ=6；
（3）作CH⊥BE于点H，连结CQ，如图2，先计算出∠DAC=180°-∠MAC=150°，再根据旋转的性质得∠CBE=∠CAD=150°，则∠CBQ=30°，然后与（2）一样可计算出PQ=6；
（4）与（2）一样可计算出PQ．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=8，
∵AM为中线，
∴AM⊥BC，CM=4，∠MAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠ACB等于旋转角，即旋转角为60°，
∴∠DCE=60°，
在Rt△MNC中，∵CM=4，MN=3，
∴CN=$\sqrt{C{M}^{2}+M{N}^{2}}$=5（cm），
在Rt△AMC中，∵CM=4，AC=8，
∴AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$（cm），
故答案为60，5，4$\sqrt{3}$；
（2）作CH⊥BE于点H，连结CQ，如图1，则PH=QH，CQ=CN=5，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
在Rt△CBH中，∵∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHQ中，∵CH=4，CQ=5，
∴QH=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
∴PQ=2HQ=6；
（3）作CH⊥BE于点H，连结CQ，如图2，则PH=QH，CQ=CN=5，
∠DAC=180°-∠MAC=150°，
∵△CBE是由△CAD旋转得到，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBQ=30°，
在Rt△CBH中，∵∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHQ中，∵CH=4，CQ=5，
∴QH=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
∴PQ=2HQ=6；
（4）当点D在AM的延长线上时，∠CBE=∠CAM=30°，同理可得PQ=6．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质和旋转的性质；会利用勾股定理计算线段的长．