Question

某房地产公司要在一地块（图中矩形ABCD）上，规划建造一个小区公园（矩形GHCK），为了使文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m；AF=40m．
（1）当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积；
（2）当G在EF上什么位置时，公园面积最大？

Answer 1

解：（1）过点G作GP⊥AD于P，作GQ⊥AB于Q，
∴∠FPG=∠GQE=90°，
∵EG=FG，
∵PH∥AB，
∴∠FGP=∠GEQ，
∴△FPG≌△GQE（AAS），
∴GQ=FP，QE=PG，
∴DK=QE，FP=BH，
∴FP：DK=AF：AE=2：3，
设DK=xm，那么BH=（40-x）m；
设公园的面积为ym²，由题意可知：
y=（200-x）（160-40+x）=-x²+x+24000（0≤x≤60）
当G在EF中点时，∵AE=60m，
∴DK=30m．
那么y=（200-30）×（160-40+20）=23800m²．
即当顶点G在EF中点时，公园的面积是23800平方米．

（2）由（1）的函数关系式知
y=-（x-10）²+，
因此当x=10时公园的面积最大，此时即当GF=EF时，公园的面积最大．
分析：（1）本题中我们可设DK的值是xm，那么根据∠FEA的正切值，我们不难得出BH=（40-x）m，此时便可根据矩形的面积公式，用DK、BH表示出KC、CH，以得出公园的面积与DK的函数关系式，然后G在EF中点时，DK=30m，可将x=30代入函数式中求出公园的面积．
（2）根据（1）得出的函数的性质，即可得出公园的最大值以及此时DK的长，有了DK的长，就能求出G在EF上的位置了．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，弄清楚DK，BH之间的数量关系是解题的关键．