Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD，
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{12}{5}$，然后根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{12}{5}$，
∵CD⊥AB，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．