Question

已知关于x的方程是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．

Answer 1

解：假设存在，则有x₁²+x₂²=224．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．
即（4m-8）²-2×4m²=224，
∴m²-8m-20=0，
（m-10）（m+2）=0，
∴m₁=10，m₂=-2．
∵△=（m-2）²-m²=4-4m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=10，m₂=-2都不符合题意，
故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．
分析：利用根与系数的关系，化简x₁²+x₂²=224，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．