Question

假设三边长、周长、面积都为整数的三角形叫做“整数三角形”，请写出所有周长为32的“钝角整数三角形”，分别列出它的三边长．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：探究型

分析：设周长为32的“钝角整数三角形”的三边长分别为a、b、c，不妨设a＞b≥c，则有a、b、c为正整数，a＜b+c，a+b+c=32，a²＞b²+c²，S=

16(16-a)(16-b)(16-c)

是整数．根据三角形的构成条件可以确定a的范围，然后分类讨论就可解决问题．

解答：解：设周长为32的“钝角整数三角形”的三边长分别为a、b、c，
不妨设a＞b≥c，则有a、b、c为正整数，a＜b+c，a+b+c=32，
a²＞b²+c²，S=

16(16-a)(16-b)(16-c)

是整数．
∵a＜b+c，a+b+c=32，
∴2a＜a+b+c=32，
∴a＜16．
∵a＞b≥c，a、b、c为正整数，
∴a≥b+1，a≥c+1，
∴3a≥a+b+1+c+1=34，
∴a≥

34

3

，
∴

34

3

≤a＜16，
∴整数a可取15、14、13、12．
①当a=15时，可得：

由上表可知：三边长为15，13，4时符合要求．
②当a=14时，可得：

由上表可知：三角形面积都不是整数，因而都不符合要求．
③当a=13时，可得：

由上表可知：三角形都是锐角三角形，都不符合要求．
④当a=12时，可得：

由上表可知：三角形都是锐角三角形，都不符合要求．
综上所述：周长为32的“钝角整数三角形”只有一个，它的三边长分别为15、13、4．

点评：本题主要考查了三角形的三边关系（两边之和大于第三边）、钝角三角形的判定方法（最长边的平方大于其它两边的平方和）、海伦公式（S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

，其中p=

a+b+c

2

），有一定的难度，而运用分类讨论及枚举法则是解决本题的关键．