Question

如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆OO于点E，连接BE、CE．
（1）若AB=2CE，AD=6，求CD的长；
（2）求证：C、I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上．

Answer 1

分析：（1）把已知的线段和要求的线段可以构造到两个相似三角形中，根据相似三角形的对应边的比相等进行求解；
（2）根据点和圆的位置关系与数量之间的联系，只需证明IE=CE=EB．根据圆周角定理的推论以及三角形的外角的性质和三角形的内心是三角形的角平分线的交点即可证明．

解答：（1）解：∵∠BAD=∠ECD，∠ABD=∠CED，
∴△ABD∽△CED，
∴

CD

AD

=

CE

AB

，
∴CD=3．

（2）证明：连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BE=弧CE，则BE=CE，
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE，
∴IE=BE，
即C、I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上．

点评：综合运用了圆周角定理的推论、三角形的内心的概念、相似三角形的判定和性质．掌握用数量关系判断点和圆的位置关系的方法．