Question

17．△ABC中，AB=AC，在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．
甲同学的作法是（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB、BC于E，D，再分别以E，D为圆心，大于$\frac{1}{2}$ED的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线BF；（2）分别以B，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线GH，直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点．（作图痕迹如图1）
乙同学的作法是：（1）以B为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，BC于D，E，再分别以D，E为圆心，以大于$\frac{1}{2}$DE的长为半径作弧，两弧交于F，作射线BF；（2）以C为圆心，以任意长为半径作弧分别交AC，BC于H，G再分别以G，H为圆心，以大于$\frac{1}{2}$GH的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线CM，射线CM与射线BF交于点O．
点O即为所求的点（作图痕迹如图2），对于两人的作法，下列说法正确的是（　　）

• A． 两人都对
• B． 两人都不对
• C． 甲对，乙不对
• D． 乙对，甲不对

Answer 1

分析 对于甲同学的作法：连结OC，如图1，根据作图得到BF平分∠ABC，由GH垂直平分BC得到OB=OC，则∠OBC=∠OCB，所以∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，可判断OC平分∠ACB，然后根据三角形内心的定义可对甲同学的作法进行判断；对于乙同学的作法：根据基本作图得到BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，然后根据三角形内心的定义得到点O为△ABC的内心，于是可对乙同学的作法进行判断．

解答 解：对于甲同学的作法：连结OC，如图1，BF平分∠ABC，GH垂直平分BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵GH垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
而∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴OC平分∠ACB，
∴点O即为所求的点；所以甲同学的作法正确；
对于乙同学的作法：BF平分∠ABC，CM平分∠ACB，则点O为△ABC两内角的角平分线，所以点O即为所求的点；所以乙同学的作法正确．
故选A．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内心．