Question

如图，在△ABC中，AB＞AC，I为△ABC的内心，D点在BC边上且∠ACB=2∠CDI．求证：AB=AC+BD．

Answer 1

解：连接AI，BI，CI，过点I作IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC垂足分别为E，M，F，
∵I为△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠ICB，
又∵IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC，
∴EI=IM=IF，
在Rt△AEI和Rt△AFI中，
∵，
∴Rt△AEI≌Rt△AFI（HL），
则AE=AF，
同理可得出：BE=BM，FC=MC，
∵∠ACB=2∠CDI，
∴∠ICD=∠IDC，
∴ID=IC，
∵IM⊥CD，
∴DM=CM，
∴AE+BE=AF+BM=AF+BD+DM=AF+FC+BD=AC+BD，
即AB=AC+BD．
分析：根据内心的性质以及角平分线的性质得出EI=IM=IF，进而利用全等得出AE=AF，BE=BM，FC=MC，即可得出AB=AC+BD．
点评：此题主要考查了内心的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出DM=CM以及AE=AF，BE=BM，FC=MC是解题关键．