Question

如图，正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，作AC⊥Ox轴于C，△AOC的面积是24，且cos∠AOC=，点N的坐标是（-5，0），求：
（1）反比例函数与正比例函数的解析式；
（2）求△ANB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．

Answer 1

解：（1）如图
在Rt△AOC中，cos∠AOC=，
∴OC：OA=4：5，
设OC=4x，则OA=5x，
∴AC==3x，
∴•3x•4x=24，
∴x=2，
∴OC=8，AC=6，
∴A点坐标为（8，-6），
把A（8，-6）代入，得m=-6×8=-48，
把A（8，-6）代入y=kx，得k=-，
∴反比例函数与正比例函数的解析式分别为y=-，y=-x；

（2）∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
∴B点坐标为（-8，6），
S_△ANB=S_△ONB+S_△ONA=×5×6+×5×6=30；

（3）x＜-8或0＜x＜8．
分析：（1）由cos∠AOC=，根据三角函数的定义得到OC：OA=4：5，设OC=4x，则OA=5x，利用勾股定理计算出AC=3x，然后根据三角形的面积公式得到•3x•4x=24，x=2，于是得到A点坐标为（8，-6），然后把A（8，-6）分别代入正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数中，即可确定它们的解析式；
（2）由于A点与B点关于原点对称，则B点坐标为（-8，6），然后利用S_△ANB=S_△ONB+S_△ONA进行计算即可；
（3）观察图象可得当x＜-8或0＜x＜8时，正比例函数y=kx（k≠0）的图象都在反比例函数的图象的上方，于是得到的解集．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式．