Question

如图，已知△DAC和△ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
（1）试说明：△ACE≌△DCB；
（2）连接MN，则MN∥AB，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠MEC=∠NBC，
∵∠MCN=180°-∠ACD-∠ECB=60°，
∴∠MCN=∠ECB，
在△MCE和△NCB中，，
∴△MCE≌△NCB（ASA），
∴MC=NC，
∴∠CNM=60°，
∴∠CNM=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
分析：（1）欲证三角形全等，利用全等的条件进行判定即可；因为△DAC和△ECB均为等边三角形，即有∠ACD=∠ECB=60°，即∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，即可得出∠ACE=∠DCB，再利用边的关系，即可得证△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）由（1）可知，△ACE≌△DCB（SAS），即有∠MEC=∠NBC，从而可得∠MCN=60°，又因为∠MCN=∠ECB，且EC=CB，
即证△MCE≌△NCB从而可推出，即有∠CNM=∠NCB=60°，即证MN∥AB．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于中等题目，要求学生具备一定的几何知识和解题能力．