Question

已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=4，∠B=60°，AC为∠DCB的平分线，E是AB的中点，DF是梯形的高，S_ABCD=________；若在直线AC上找一点M，使EM+FM的值最小，则其最小值=________．

Answer 1

12    6
分析：已知等腰梯形ABCD中∠B=60°，则∠BCD=60°，AC为∠DCB的平分线，易求得∠DAC=∠DCA，故DC=DA=4，在Rt△CDF中，易求得DF，FC，进而利用梯形的面积公式求值即可；作点F关于AC的对称点N，连接EN，与AC交于点M，易证EN为梯形的中位线，求得EN即可．
解答：解：过点A作AG⊥BC于G，
在等腰梯形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=60°，∠BAD=∠CDA=120°，
∵AC为∠DCB的平分线，
∴∠DAC=∠DCA=∠BCA=∠FDC=30°，
∴DC=DA=4，
在Rt△CDF中，FC=2，DF=2，
同理得，BG=2，
∴GF=4，BC=8，
∴S_ABCD=×（4+8）×2=12；
作点F关于AC的对称点N，连接EN，与AC交于点M，
∵AC为∠DCB的平分线，
∴点N为CD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EN是等腰梯形的中位线，
∴EM+FM=EN=×（4+8）=6．
故答案为12；6．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用、最短路线问题，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．