Question

18．如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，点M、N分别为边AB、AC上的动点，且MN∥BC，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，设△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为S．
（1）△ABC的面积等于10；
（2）当S最大时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线MN，并简要说明点M和点N是如何找到的（不要求证明）如图3中，过点A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，连接EG，FH分别交AB、AC于M、N．
图中M、N就是所求的点．．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式就是即可．
（2）分两种情形讨论）①如图1中，当0＜MN≤$\frac{5}{2}$时，△A′MN与四边形BCNM重叠部分为△MNA′，设MN=x，AD与AH交于点D，②如图2中，当x＞$\frac{5}{2}$时，A′H=2AD-AH=$\frac{8}{5}$x-4，分别求出S的最大值，最后得出AM：BM=AN：CN=2，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
故答案为10．

（2）①如图1中，当0＜MN≤$\frac{5}{2}$时，△A′MN与四边形BCNM重叠部分为△MNA′，设MN=x，AD与AH交于点D，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AD}{AH}$，
∴AD=$\frac{4}{5}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{4}{5}$x=$\frac{2}{5}$x²，
∴x=$\frac{5}{2}$时，S最大值=$\frac{5}{2}$．
②如图2中，当x＞$\frac{5}{2}$时，A′H=2AD-AH=$\frac{8}{5}$x-4，
∵EF∥MN，
∴$\frac{EF}{MN}$=$\frac{A′H}{A′D}$，
∴EF=2x-5，
∴S=S_△A′MN-S_△A′EF=-$\frac{6}{5}$（x-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{10}{3}$，
∴当x=$\frac{10}{3}$时，S最大值为$\frac{10}{3}$，
∵$\frac{10}{3}$＞$\frac{5}{2}$，
∴S最大值为$\frac{10}{3}$，此时AD=$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$AH，∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AN}{NC}$=2，
作法：如图3中，过点A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，连接EG，FH分别交AB、AC于M、N．
图中M、N就是所求的点．
故答案为：如图3中，过点A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，连接EG，FH分别交AB、AC于M、N．
图中M、N就是所求的点．

点评 本题考查作图-应用与设计、翻折变换、三角形的面积、二次函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．