Question

13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE=CF，BE=2AE，连接DE，FG⊥DE，垂足为点G，连接CG，则tan∠FGC的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，利用正方形的性质得AE=CF=a，AD=CD=3a，再证明△AED≌△CFM得到AD=CM=3a，则可判断CG为斜边DM上的中线，所以CG=CM，于是得到∠FGC=∠M，然后在Rt△FCM中利用正切的定义求出tan∠M即可得到tan∠FGC的值．

解答 解：延长GF交DC的延长线于点M，如图，设正方形ABCD的边长为3a，
∵AE=CF，BE=2AE，
∴AE=CF=a，AD=CD=3a，
∵FD⊥DE，
∴∠EGF=90°，
∴∠GEB+∠BFG=180°，
而∠GEB+∠AED=180°，
∴∠AED=∠BFG，
而∠NFG=∠CFM，
∴∠AED=∠CFM，
在△AED和△CFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCM}\\{AE=CF}\\{∠AED=∠CFM}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFM，
∴AD=CM=3a，
在Rt△DGM中，∵CD=CM=3a，
∴CG为斜边DM上的中线，
∴CG=CM，
∴∠FGC=∠M，
在Rt△FCM中，tan∠M=$\frac{CF}{CM}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠FGC=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决本题的关键是把求∠FGC的正切值转化为∠M的正切值．