Question

3．如图，在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为2．

Answer 1

分析 根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形，求出∠DAE=135°，故易求∠FDA=45°，所以由平行四边形的面积公式即可解答．

解答 解：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠DAE=135°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=$\sqrt{2}$，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=2，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°-∠DAE=45°，
∴S_?AEFD=AD•（DF•sin45°）=2×（$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2．
即四边形AEFD的面积是2，
故答案为：2．

点评 本题综合考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．综合性比较强，难度较大，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力．