Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点M在y轴负半轴上，且M（0，-1）．在抛物线上是否存在点N，使以B、A、M、N为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点N的坐标；不存在，说明理由．
（3）如图3，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，请画出图形，并求出点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数即可求得函数的解析式；
（2）分别利用当MN∥AB时，当AM∥BN″时，利用梯形的判定一组对边平行不相等的四边形是梯形进而求出即可；
（3）在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，求得直线EI的解析式，即可求解．

解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
将点B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0
解得：a=-1，
∴解析式为：y=-（x-1）²+4；

（2）如图2，当MN∥AB时，
∵0=-（x-1）²+4；
∴x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
∵M（0，-1），
∴-1=-（x-1）²+4，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴MN=

5

-1≠AB，MN′=1+

5

≠AB，
∴此时四边形ANMB是梯形，四边形AMN′B是梯形，N（1-

5

，-1），N′（-1-

5

，-1），
当AM∥BN″时，
∵A（-1，0），M（0，-1），设直线AM的解析式为y=kx+b，
则

b=-1 -k+b=0

，
解得：

k=-1 b=-1

，
∴直线AM的解析式为y=-x-1，
∴BN″的解析式为：y=-x+d，
将B（3，0）代入得出：0=-3+d，
解得：d=3，
∴BN″的解析式为：y=-x+3，
∴联立两函数得：

y=-x+3 y=-(x-1)2+4

，
解得：

x1=0 y1=3

，

x2=3 y2=0

，
∴N″的坐标为：（0，3），此时AM≠BN″，
∴四边形AMBN″是梯形，
∴综上所述：以B、A、M、N为顶点的四边形是梯形，
则点N的坐标为：（0，3），（1-

5

，-1），（-1-

5

，-1）；

（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI，点E坐标为（2，3）
∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x=1．
∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE  过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1
∴当x=0时，y=1
∴点F坐标为（0，1）
∴DF=2
又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，-1）
∴EI=

DE2+DI2

=

22+42

=2

5

，
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，过E（2，3）、I（0，-1）
解析式为：y=2x-1
∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=

1

2

；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（

1

2

，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2

5

．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法和梯形的判定等知识点，利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法求出是解题关键．