Question

5．已知x³-2x²+ax+b除以（x+1）（x-2）所得余式为2x-1，求a+3b-3的值．

Answer 1

分析 首先由多项式x³-2x²+ax+b除以（x+1）（x-2）所得的余式为2x-1，可设x³-2x²+ax+b-（2x-1）=（x+1）（x-2）（x+c）整理可得：x³-2x²+（a-2）x+b+1=x³+（c-1）x²-（2+c）x-2c，转化为方程组$\left\{\begin{array}{l}{c-1=-2}\\{-2-c=a-2}\\{b+1=-2c}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题．

解答 解：∵多项式x³-2x²+ax+b除以（x+1）（x-2）所得的余式为2x-1，
∴可设x³-2x²+ax+b-（2x-1）=（x+1）（x-2）（x+c）
整理可得：x³-2x²+（a-2）x+b+1=x³+（c-1）x²-（2+c）x-2c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c-1=-2}\\{-2-c=a-2}\\{b+1=-2c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴a+3b-3=1+3-3=1

点评 此题考查了余式定理，多项式乘以多项式的运算法则，以及二元一次方程组的解法．此题难度适中，解题的关键是根据题意设x³-2x²+ax+b-（2x-1）=（x+1）（x-2）（x+c），然后根据多项式相等的性质，列出方程组求解．