Question

9．如图，正方形ABCD中，E为BC中点，DF=$\frac{1}{2}$CF
（1）求∠EAF的度数；
（2）求sin∠AEF的值．

Answer 1

分析 （1）延长CB到G使BG=DF．先证明Rt△ABG≌Rt△ADF，可得到∠GAF=90°，然后再证明△AGE≌△AFE，从而可得到∠GAE=∠FEE=45°；
（2）过点F作FH⊥AE．先求得AE的长，然后依据S_△AEF=S_△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH，可求得FH的长，最后在Rt△FHE中，依据锐角三角函数的定义求解即可．

解答 解：（1）如图所示：延长CB到G使BG=DF．

设正方形的边长为a，则BD=DF=$\frac{1}{3}$a，FC=$\frac{2}{3}$a，EC=$\frac{1}{2}$a．
在Rt△EFC中，EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\frac{6}{5}$a．
∵GE=GB+EB=$\frac{6}{5}$a，
∴EF=GE．
∵在Rt△ABG和Rt△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△ADF．
∴AG=AF，∠BAB=∠FAD．
∴∠GAF=90°．
在△AGE和△AFE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{AE=AE}\\{GE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AFE．
∴∠GAE=∠FEE=45°．

（2）如图所示：过点F作FH⊥AE．

在Rt△ABE中，依据勾股定可知AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a．
∵S_△AEF=S_△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH，
∴$\frac{6}{5}$a²=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a•HF．
∴HF=$\frac{12\sqrt{5}}{25}$a．
∴sin∠AEF=$\frac{\frac{12\sqrt{5}a}{25}}{\frac{6}{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．