Question

20．如图，在正方形ABCD中，AB=a，P为边BC上一动点（不与B、C重合），E是边BC延长线上一点，连结AP，过点P作PF⊥AP交∠DCE的平分线于点F，连结AF与边CD交于点G，连结PG．
猜想：线段PA与PF的数量关系为PA=PF．
探究：△CPG的周长在点P的运动中是否改变？若不改变求其值．
应用：若PG∥CF，当a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$时，则PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 猜想：在正方形ABCD边AB上截取BQ=BP，连接PQ，由正方形的四个角为直角，四条边相等，得到三角形BPQ为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及邻补角定义可得出∠AQP=135°，由CF为直角的平分线，得到∠FCP=135°，再证AQ=PC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA可得出三角形APQ与三角形CFP全等，可得结论；
探究：△CPG的周长在点P的运动中不改变，是一个定值；作辅助线，构建全等三角形，证明△ABM≌△ADG和△PAM≌△PAG，得出线段的长，代入△PCG的周长中可得2a；
应用：如图3，由△PCG是等腰直角三角形，得PC=CG，设PB=x，由探究的结论：△PCG的周长=2a，代入列方程可得x的值，即PB的值．

解答 解：猜想：PA=PF，理由是：
在BA边上截取BQ=BP，连接PQ，如图1：
可得△BPQ为等腰直角三角形，即∠BQP=45°，
∴∠AQP=135°，
又∵CF为直角∠DCE的平分线，
∴∠FCE=45°，
∴∠PCF=∠AQP=135°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∴AB-BQ=BC-BP，即AQ=PC，
∵PF⊥AP，
∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠CPF=90°，
又∵∠APB+∠QAP=90°，
∴∠QAP=∠CPF，
在△AQP和△PCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠QAP=∠CPF}\\{AQ=PC}\\{∠AQP=∠PCF}\end{array}\right.$，
∴△AQP≌△PCF（ASA），
∴PA=FP；
故答案为：PA=PF；
探究：△CPG的周长在点P的运动中不改变，是一个定值；
如图2，延长CB至M，使BM=DG，连接AM，
∵AD=AB，∠ABM=∠ADG=90°，
∴△ABM≌△ADG，
∴∠GAD=∠BAM，AG=AM，
由猜想得：AP=PF，
∵AP⊥PF，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴∠PAG=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠GAD+∠BAP=45°，
∴∠BAM+∠BAP=45°，
∴∠MAP=∠PAG=45°，
∵AP=AP，
∴△PAM≌△PAG，
∴PM=PG，
∴△PCG的周长=PG+PC+CG，
=PM+PC+CG，
=PB+BM+PC+CG，
=PB+DG+PC+CG，
=BC+DC，
=2a；
应用：如图3，∵PG∥CF，
∴∠PGC=∠GCF=45°，
∴△PCG是等腰直角三角形，
∴PC=CG，
设PB=x，则PC=CG=a-x，
由探究得：△PCG的周长=2a，
则PG+PC+CG=2a，
$\sqrt{2}$PC+2PC=2a，
（$\sqrt{2}$+2）（a-x）=2a，
把a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$代入得：（2+$\sqrt{2}$）（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$-x）=2×$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，猜想和探究的辅助线的作法是关键，要认真领会并熟练掌握；是一道难得的中考几何试题．