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【题目】如图,已知抛物线)与y轴交于点C,与x轴交于点A(1,0)和点B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求直线BC的解析式;

(3)若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B,N,H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似?若能,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)N坐标(5,2)或(2,﹣1)-314).

【解析】

试题分析:(1)把点A坐标代入抛物线解析式,即可求得抛物线的解析式;

(2)先求出抛物线的对称轴,再求得点B、C坐标,设直线BC的解析式为,然后把B、C两点坐标代入直线BC的解析式,求得k和b即可;

(3)设N(x,),分两种情况讨论:①△OBC∽△HNB,②△OBC∽△HBN,根据相似,得出比例式,再分别求得点N坐标即可.

试题解析:(1)点A(1,0)在抛物线)上,抛物线的解析式为:

(2)抛物线的对称轴为直线点B(4,0),C(0,2),设直线BC的解析式为把B、C两点坐标代入线BC的解析式为,得:,解得:直线BC的解析式

(3)设N(x,),分种情况讨论:

OBC∽△HNB时,如图1,,即,解得(不合题意,舍去),点N坐标(5,2);

OBC∽△HBN时,如图2,,即,解得(不合题意舍去),点N坐标(2,﹣1);

N(x,在第二象限时,H(x,0)在x轴负半轴上,BH=OBC∽△HNB得到:解得(不合题意,舍去),点N坐标(-314);

综上所述点N坐标(5,2)或(2,﹣1)-314).

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(1)求抛物线的解析式;

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