Question

求所有的非负整数x使得1+5×2^x为一个有理数的平方．

Answer 1

考点：尾数特征

专题：

分析：首先根据乘法得到2^x=1，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，再分5×2^x的个位数字是5和5×2^x的个位数字是0，两种情况进行讨论，可得所有的非负整数x使得1+5×2^x为一个有理数的平方的情况．

解答：解∵2^x=1，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，
∴5×2^x的个位数字是5，0，
当x=0时，2⁰=1，
∴1+5×2⁰=6，不存在一个有理数的平方，
∴1+5×2^x的个位数字是1，
∵9²=81=1+5×2⁴，
11²=121=1+5×24，
21²=441=1+5×88，
31²=961=1+5×192，
41²=1681=1+5×336，
51²=2601=1+5×520，
61²=3721=1+5×744，
71²=5041=1+5×1008，
81²=6561=1+5×1312，
∴满足条件的只有整数x=4．

点评：考查了尾数特征，本题关键是熟悉一个整数与5的积的个位数字是5或0，以及分类思想的运用．