Question

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=10，AD=7，点P在边AD上运动（不与点A，D重合），E是边AB上一点，连结PC，PE，EC．
（1）当点B，P关于直线EC对称时，求BE的长；
（2）设BE=a，若存在唯一点P，使∠EPC=90°，求a，AP的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CM⊥AD于M．设BE=x．在Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，在Rt△PAE中，根据PE²=AP²+AE²，列出方程即可解决问题．
（2）如图2中，以CE为直径作⊙，当⊙O与直线AD相切于点P时，存在唯一点P，使∠EPC=90°．连接OP，延长PO交BC于H．根据PO=$\frac{1}{2}$EC，可得方程6-$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+{a}^{2}}$，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作CM⊥AD于M．设BE=x．

∵△CEP是由△CEB翻折得到，
∴CP=CB=10，PE=EB=x，
∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠B=∠M=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM=AB=6，AM=BC=10，
在Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AP=AM-PM=2，
在Rt△PAE中，∵PE²=AP²+AE²，
∴x²=（6-x）²+2²，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴BE=$\frac{10}{3}$．

（2）如图2中，以CE为直径作⊙，当⊙O与直线AD相切于点P时，存在唯一点P，使∠EPC=90°．连接OP，延长PO交BC于H．

∵AD是⊙O的切线，
∴OP⊥AD，
∴∠HPA=∠A=∠B=90°，
∴四边形PABH是矩形，
∴PH=AB=6，AP=BH，OH∥EB，
∵CO=OE，∴CH=HB=5，
∴OH=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{1}{2}$a，AP=BH=5，
∵PO=$\frac{1}{2}$EC，
∴6-$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+{a}^{2}}$，
解得a=$\frac{11}{6}$，
∴AP=5，a=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查直角梯形的性质、翻折变换、圆与直线的位置关系、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．