Question

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90° 得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．
（1）求两次旋转点A经历的轨迹的总长度；
（2）求阴影部分①的面积；
（3）求阴影部分②的面积（在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度．）．

Answer 1

分析：（1）连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC，利用勾股定理求出AC的长，由旋转可知AC=A′C′=A″C′，然后利用SAS证明△AB′C′≌△C′D′A″，根据全等三角形的对应角相等及同角的余角相等，可得∠A′C′A″=90°，由图形可知两次旋转点A经历的轨迹的总长度为

AA′

和

A′A″

两弧长之和，利用弧长公式求出即可；
（2）阴影部分①的面积利用扇形A′C′A″的面积减去△AB′C′的面积，再减去△C′D′A″的面积，由△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积之和为矩形ABCD的面积，故利用扇形的面积公式及矩形的面积公式求出即可；
（3）由ED=2，CD=1，三角形ECD为直角三角形，根据在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度可得∠ADE=∠CED=30°，阴影部分②的面积等于扇形AED的面积加三角形ECD的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

5

，
由旋转可知A′C′=A″C″=

5

，A′D=AD=BC=2，
又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″，
∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS），
∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°，
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°，
则两次旋转点A经历的轨迹的总长度为

AA′

+

A′A″

=

90π×2

180

+

90π× 5

180

=π+

5

2

π；

（2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积都为矩形面积的一半，
∴阴影部分①的面积S=S_{扇形A′C′A″}-2S_△AB′C′
=S_{扇形A′C′A″}-S_矩形=

90π×( 5 )2

360

-1×2=

5

4

π-2；

（3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°，
∴∠CED=30°，又BC∥AD，
∴∠ADE=30°，
又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1，
根据勾股定理得：EC=

ED2-CD2

=

3

，
则阴影部分②的面积S=S_扇形ADE+S_△ECD=

30π×22

360

+

1

2

×

3

×1=

1

3

π+

3

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，扇形面积的求法，以及弧长的计算，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．