Question

13．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…按照此规律继续下去，则S₂₀₁₆的值为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹³
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得出S₂+S₂=S₁，写出部分S_n的值，根据数的变化找出变化规律“S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$”，依此规律即可得出结论．

解答 解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
观察，发现规律：S₁=2²=4，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=2，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=1，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$．
当n=2016时，S₂₀₁₆=$（\frac{1}{2}）^{2016-3}$=$（\frac{1}{2}）^{2013}$．
故选C．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S_n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．