Question

（2013•燕山区一模）定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P，任取线段AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．
已知O为坐标原点，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题：
（1）点A到线段OB的距离d（A→OB）=

2

2

；
（2）已知点G到线段OB的距离d（G→OB）=

5

，且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为

1-

10

或1+

10

．
（3）当m的值变化时，点A到动线段CD的距离d （A→CD）始终为2，线段CD的中点为M．
①在图（2）中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积．
②点E的坐标为（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x轴，垂足为H．是否存在m的值，使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图（1）过点A作AC⊥OB于C，由B点的坐标就可以得出OB平分∠xOy，由勾股定理就可以求出AC的值而得出结论；
（2）如图（2），过点G₁作G₁F⊥OB于点F，则G₁F就是点G₁到线段OB的距离．过点D作G₂D⊥OB交直线x=1于点G₂，由直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（3）①如图（3），运用分类讨论思想，当点C在以A为圆心，半径为2的⊙A的右半圆上时，当点C从C₁到C₂时，当点C从C₄到C₃时，当点D在以A为圆心，半径为2的⊙A的左半圆上时，点M在圆弧M₁FM₄上运动；根据圆的面积公式和矩形的面积公式就可以求出结论；
②利用分类思想分情况讨论如图（4），当点M位于左侧圆弧上时，m≤0，不合题意；如图（4），当点M位于线段M₁M₂上时，由学生三角形的性质就可以求出结论，如图（5），当点M位于右侧圆弧M₁FM₄上时，连结GM，其中点G是圆弧的圆心，坐标为（6，0）．根据勾股定理建立方程就可以求出结论．

解答：解：（1）作AC⊥OB于C，
∴∠ACO=90°．
∵B（3，3），
∴OB平分∠xOy，
∴∠AOB=45°．
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠AOC，
∴AC=OC．
∵A（4，0），
∴OA=4．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=2

2

．
∴点A到线段OB的距离d（A→OB）=2

2

．
故答案为：2

2

；

（2）∵OB平分∠xOy，
∴OB的解析式为：y=x
∵点G的横坐标为1，
∴点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交OB于点K．
①如图，过点G₁作G₁F⊥OB于点F，则G₁F就是点G₁到线段OB的距离．
∵OB的解析式为：y=x，
∴△G₁FK，△DHK均为等腰直角三角形，
∵d（G₁→OB）=

5

，
∴KF=

5

，由勾股定理得GK=

10

，
∵KH=OH=1，
∴HG₁=

10

+1．
即G₁的纵坐标为

10

+1；
②如图，过点D作G₂D⊥OB交直线x=1于点G₂，由题意知△DKG₂为等腰直角三角形，
∵d（G₂→OB）=

5

，
∴DK=DG₂=

5

，
∴G₂K=

10

．
∴G₂H=

10

-1
∴点G₂同样是满足条件的点．
∴点G₂的纵坐标为1-

10

．
综上，点G的纵坐标为1+

10

或1-

10

．

（3）①如图（3），当点C在以A为圆心，半径为2的⊙A的右半圆上时，点M在圆弧M₁FM₄上运动；
当点C从C₁到C₂时，点M在线段M₁M₂上运动；
当点C从C₄到C₃时，点M在线段M₄M₃上运动；
当点D在以A为圆心，半径为2的⊙A的左半圆上时，点M在圆弧M₂OM₃上运动；
∴点M随线段CD运动所围成的封闭图形是图中实线部分，面积为16+4π．  
②存在．
图（4）由A（4，0），E（0，2），得

OE

OA

=

2

4

=

1

2

．
（ i）当点M位于左侧圆弧上时，m≤0，不合题意；
（ ii）如图（4），当点M位于线段M₁M₂上时，
∵MH=2，∴只要AH=1，就有△AOE∽△MHA，
此时OH₁=5，OH₂=3．
∵点M为线段CD的中点，CD=4，
∴OH₁=5时，m=3；OH₂=3时，m=1．               
（ iii）如图（5），当点M位于右侧圆弧M₁FM₄上时，连结GM，其中点G是圆弧的圆心，坐标为（6，0）．
图（5）设MH₃=x，∵AH₃＞M₃H₃
∴AH₃=2x，∴GH₃=2x-2，又GM=2，
在Rt△MGH₃中，由勾股定理得：（2x-2）²+x²=2²，
解得x1=

8

5

，x₂=0（不合题意，舍去），
此时AH3=

16

5

，OH3=OA+AH3=

36

5

，
∵点M为线段CD的中点，CD=4，∴m=

26

5

．
综上所述，存在m=1或m=3或m=

26

5

，使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似．

点评：本题考查了点到直线的距离的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形相似由相似三角形的性质求解是关键．