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    14．如图1，直角坐标系中有一矩形OABC，其中O是坐标原点，点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3，4），直线y=$\frac{1}{2}$x交AB于点D，点P是直线y=$\frac{1}{2}$x位于第一象限上的一点，连接PA，以PA为半径作⊙P，
    （1）连接AC，当点P落在AC上时，求PA的长；
    （2）当⊙P经过点O时，求证：△PAD是等腰三角形；
    （3）设点P的横坐标为m，
    ①在点P移动的过程中，当⊙P与矩形OABC某一边的交点恰为该边的中点时，求所有满足要求的m值；
    ②如图2，记⊙P与直线y=$\frac{1}{2}$x的两个交点分别为E，F（点E在点P左下方），当DE，DF满足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3时，求m的取值范围．（请直接写出答案）

    分析 （1）由△OPC∽△ADP，可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，求出AC、AD即可解决问题；
    （2）只要证明∠PDA=∠DAP即可．
    （3）①分三种情形分别求解即可ⅰ）如图2中，交点M是OC中点，PM=PA；ⅱ）如图3中，交点M是OA中点，PM=PA；ⅲ）如图4中，交点M是AB中点，PM=PA；ⅳ）如图5中，交点M是BC中点，PM=PA；
    ②如图6中，当DE=3DF时，易知PA=2PD．由此列出方程即可解决问题．

    解答 解：（1）如图1中，

    ∵B（3，4）∴BC=3，AB=4
    ∵∠B=90°∴AC=5
    ∵OC∥AB，
    ∴△OPC∽△ADP，
    ∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，
    即$\frac{AP}{5-AP}=\frac{1.5}{4}$
    ∴$AP=\frac{15}{11}$．

    （2）∵⊙P经过点O，
    ∴OP=AP
    ∴∠POA=∠PAO，
    ∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，
    ∴∠PDA=∠DAP，
    ∴△PAD是等腰三角形．

    （3）①分4种情形讨论：
    ⅰ）如图2中，

    交点M是OC中点，PM=PA
    则${m^2}+{（2-\frac{1}{2}m）^2}={（\frac{1}{2}m）^2}+{（3-m）^2}$，
    解得$m=\frac{5}{4}$．
    ⅱ）如图3中，

    交点M是OA中点，PM=PA
    ∴MG=GA=$\frac{3}{4}$，
    ∴$m=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．
    ⅲ）如图4中，

    交点M是AB中点，PM=PA
    ∴PG=$\frac{1}{2}$AM=1，
    ∴PH=2DH=2×$（\frac{3}{2}-1）$=1，
    ∴m=2．
    ⅳ）如图5中，

    交点M是BC中点，PM=PA
    则${（m-\frac{3}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}m-4）^2}={（m-3）^2}+{（\frac{1}{2}m）^2}$，
    解得$m=\frac{37}{4}$．
    综上所述，满足要求的m值为$\frac{5}{4}$或$\frac{9}{4}$或2或$\frac{37}{4}$．
    ②如图6中，当DE=3DF时，易知PA=2PD．

    设P（m，$\frac{m}{2}$），则$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{3}{2}）^{2}}$，
    解得m=$\frac{12}{5}$或4，
    当m=4时，ED=$\frac{1}{3}$DF，
    综上可知，当DE，DF满足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3时，m的取值范围为$\frac{12}{5}$＜m＜4．

    点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理．两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会关键方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

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