Question

如图，一次函数y=kx+1与反比例函数y=

m

x

的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PBD=4S_△DOC，AO=2．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象写出当x＞0时，反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先证明四边形OAPB为矩形，可得BP=OA=2，再证明△BDP∽△ODC，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出CO的长，进而求出一次函数解析式，再求出P点坐标，进而再求反比例函数解析式；
（2）根据函数图象可知，当反比例函数的值小于一次函数的值时，图象在AP的右边，由P点坐标可以直接写出答案．

解答：解：（1）∵y=kx+1交y轴于点D．
∴D（0，1），
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，∠BOA=90°，
∴四边形OAPB为矩形，
∴BP=OA=2，
∴BP∥CA，
∴∠BPC=∠PCA，
∵∠BDP=∠CDO，
∴△BDP∽△ODC，
∵S_△PBD=4S_△DOC，
∴

CO

BP

=

OD

DB

=

1

2

，
∵AO=BP=2，
∴CO=

1

2

BP=1，
∴C（-1，0），
∴一次函数解析式为：y=x+1，
∵OD=1，
∴BD=2，
∴BO=3，
∴P（2，3），
∴m=xy=2×3=6，
∴y=

6

x

；

（2）若反比例函数值小于一次函数的值则x＞2．

点评：此题主要考查了一次函数、反比例函数、矩形性质、相似三角形的性质，证明△BDP∽△ODC，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方得出CO的长是解决问题的关键．