Question

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是
（-1，2）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）①连结AB，则AB与x轴的位置关系是

 

；②在（2）中的抛物线上求出点P，使得S_△ABP=S_△ABO；
（4）点E为线段OB上一动点，过点EF∥y轴，交x轴于点H，交抛物线于点F，EF是否有最大值？如有直接出点E的坐标及最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，则∠OAM=∠OBN，证明△OAM∽△BON，可得ON，BN的值，继而得出点B的坐标；
（2）利用待定系数法求解过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）①根据A、B的纵坐标相等，可判断AB与x轴平行；②要使S_△ABP=S_△ABO，需要满足点P到AB的距离等于点O到AB的距离，得出点P的纵坐标即可求出点P的横坐标；
（4）先求出OB的解析式，设点E的坐标，则可表示出点E、点F的纵坐标，表示出EF的长，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，
则∠OAM=∠BON（都是∠AOM的余角），
∴△OAM∽△BON，
又∵∠AMO=∠ONB=90°，
∴△OAM∽△BON，
∴

AM

ON

=

OM

BN

=

AO

OB

=

1

2

，
∴ON=2AM=4，BN=2OM=2，
∴点B的坐标为（4，2）；

（2）设过点A、O、B三点的抛物线解析式为y=ax²+bx，
将点A、B的坐标代入可得：

a-b=2 16a+4b=2

，
解得：

a= 1 2 b= 3 2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x；

（3）①∵AM=BN，
∴AB与x轴平行；
②∵S_△ABP=S_△ABO，
∴点P到AB的距离等于点O到AB的距离，
∴点P的纵坐标为0或4，
①当点P的纵坐标为0时，点P与点C重合，
此时点P的坐标为（

1

2

，0）；
②当点P的纵坐标为4时，

1

2

x²-

3

2

x=4，
解得：x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴点P的坐标为（

3+ 41

2

，4）或（

3- 41

2

，4）．
综上可得点P的坐标为（

1

2

，0），（

3+ 41

2

，4），（

3- 41

2

，4）时，使得S_△ABP=S_△ABO；

（4）设直线OB的解析式为y=kx，
将点B的坐标代入得：2=4k，
解得：k=

1

2

，
∴OB的解析式为y=

1

2

x，
设点E的坐标为（x，

1

2

x），则点F的坐标为（x，

4

3

x²-

2

3

x），
则EF=

1

2

x-（

4

3

x²-

2

3

x）=-

4

3

x²+

8

3

x=-

4

3

（x-1）²+

4

3

，
∴当x=1时，EF取得最大值，
此时点E的坐标为（1，2）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求抛物线解析式、相似三角形的判定与性质及配方法求二次函数的最值，综合考察的知识点较多，解答此类题目的关键是数形结合思想及分类讨论思想的综合运用，将所学知识融会贯通．