Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

  (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

  (2)判断⊿BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；

  (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

（1）B(-1,0) E(0,4) C(4，0)   设解析式是

可得     解得   （2分）  ∴（1分）

（2）⊿BDC是直角三角形        （1分）

∵BD²=BO²+DO²=5 , DC²=DO²+CO²=20 ,BC²=(BO+CO)²=25

∴BD²+ DC²= BC²                  （1分）

 ∴⊿BDC是Rt⊿

点A坐标是（-2,0），点D坐标是（0,2）直线AD的解析式是 （1分）

设点P坐标是（x，x+2）

当OP=OC时 x²+(x+2)²=16 解得 （不符合，舍去）此时点P（）

当PC=OC时 方程无解

当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，∴点P横坐标是2， 得点P坐标是（2,4）

∴当⊿POC是等腰三角形时，点P坐标是（）或（2,4） （2分）

（3）       点M坐标是（）N坐标是（）∴MN=

设点P 为（x，x+2）Q(x,-x²+3x+4),则PQ=

①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁=0.5 x₂=1.5

当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=，所以菱形不存在（2分）

②能成为等腰梯形，此时点P的坐标是（2.5,4.5）（2分）