Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于B（-1，0），A（3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设此抛物线与直线y=-x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线与抛物线交于点M，与直线y=-x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于B（-1，0）、A（3，0）两点，
将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1-b+c=0，-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以，该抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）存在
∵由前面的计算可以得到，C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x=1
∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，
∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小
∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，
此时：直线BC的解析式为y=x+3，
当x=1时，y=4，
∴在该抛物线的对称轴上是否存在点Q（1，4），使得△QAC的周长最小

（3）由题意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m）
∴线段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4=-（m+1）²+5
∵S_{四边形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）²+10
∴当m=-1时（在内），四边形BNCM的面积S最大．
分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c确定解析式．
（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．
（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
点评：求直线上一点到直线外同旁两点的距离之和最小的问题是通过对称转化为两点之间线段最短解决．不规则几何图形的面积问题往往是转化为规则几何图形的面积解决．