Question

17．如图，两个正方形ABDE和ACFG如图摆放．
（1）若M是DF的中点，试判断BM和MC的位置关系；
（2）设AH是△ABC中BC边上的高，EG交AH于点N，求证：GN=GF；
（3）设直线BF和CD交于点P，求证：AP⊥BC．

Answer 1

分析 （1）结论：BM⊥CM．如图1中，延长BM到H，使得MH=BM，连接BF、DH、AF、EH、CE、BC、BC、CH．首先证明四边形BDFH，四边形AEHF是平行四边形，再证明△BAC≌△HFC，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）过G作GT∥AE交AH的延长线于T．连接ET．由△GAT≌△ADB，推出GT=AB=AE，由GT∥AE，推出四边形AGTE是平行四边形，即可解决问题．
（3）过A作AS⊥BC于Q，且AS=BC，连接PS、CS、BS．先证明△BCF≌△SAC，△BAS≌△DBC，想办法证明S是△BCP的垂心，推出A、S、P共线，即可解决问题．

解答 （1）解：结论：BM⊥CM．
理由：延长BM到H，使得MH=BM，连接BF、DH、AF、EH、CE、BC、BC、CH．

∵四边形ABDE、四边形AGFC是正方形，
∴AC=FC，AB=BD，∠CAF=∠CFA=45°，∠GAC=∠BAE=90°，
∴∠BAG=∠EAC，
∵BM=MH，FM=DM，
∴四边形BDHF是平行四边形，
∴BD∥FH∥AE，BD=FH=AE，
∴四边形AFHE是平行四边形，
∴∠CFH+∠CFA+∠FAC+∠EAC=180°，
∴∠CFH=90°-∠EAC=90°-∠BAG=∠BAC，
在△BAC和△HFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CF}\\{∠BAC=∠CFH}\\{AB=FH}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△HFC，
∴BC=CH，∠ACB=∠FCH，
∴∠BCH=∠ACF=90°，
∵BM=MH，
∴CM⊥BH，CM=BM=MH，
∴CM⊥BM，CM=BM．

（2）证明：过G作GT∥AE交AH的延长线于T．连接ET．

∵AT⊥BC，
∴∠AHC=∠AHB=∠GAC=90°，
∴∠GAT+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠GAT=∠ACB，
∵∠ABC+∠BAH=90°，∠BAH+∠ATG=90°，
∴∠ABC=∠ATG，
∵AG=AC，
∴△GAT≌△ADB，
∴GT=AB=AE，∵GT∥AE，
∴四边形AGTE是平行四边形，
∴GN=NE．

（3）证明：过A作AS⊥BC于Q，且AS=BC，连接PS、CS、BS．

∵∠CAS+∠ACQ=90°，∠ACQ+∠BCF=90°，
∴∠CAS=∠BCF，∵AC=CF，AS=BC，
∴△BCF≌△SAC，
∴∠FBC=∠CSA，
∵∠CSA+∠SCQ=90°，
∴∠SCQ+∠FBC=90°，
∴CS⊥BP，
∵∠ABQ+∠BAS=90°，∠ABQ+∠DBC=90°，
∴∠BAS=∠DBC，
∵AB=BD，BC=AS，
∴△BAS≌△DBC，
∴∠BCD=∠ASB，
∵∠ASB+∠SBQ=90°，
∴∠BCD+∠SBQ=90°，
∴BS⊥CD，∵CS⊥BP，
∴S是△BCP的垂心，
∴PS⊥BC，∵SA⊥BC，
∴A、S、P共线，
∴AP⊥BC．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转变换、平行四边形的判定和性质、垂心等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，第三个问题比较难，证明S是△BCP的垂心是突破口，属于中考压轴题．