Question

2．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若点P对应的实数为x，过点P且与OA平行的直线与⊙O没有公共点，则x的取值范围是-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$且x≠0．

Answer 1

分析 由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．

解答 解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，
连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，
故可得OP'=$\sqrt{2}$，即x的极大值为$\sqrt{2}$，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x=-$\sqrt{2}$，
综上可得x的范围为：-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$．
又∵DP'与OA平行，
∴x≠0，
故答案为：-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$且x≠0．

点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．