Question

16．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一点D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，AB=AC=5，BC=6，则△DEF周长的最小值为$\frac{198}{25}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到BE=CE=3，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，根据直角三角形的性质得到DE=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵AB=AC=5，BC=6，
∴BE=CE=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BF=$\frac{1}{2}$BC•AE，
∴BF=$\frac{24}{5}$，
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{17}{5}$，
∴AF=$\frac{8}{5}$，
∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{DF}{BC}$，
∴DF=$\frac{48}{25}$，
∴△DEF的周长的最小值=3+3+$\frac{48}{25}$=$\frac{198}{25}$．
故答案为：$\frac{198}{25}$．

点评 本题考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，掌握的理解题意是解题的关键．