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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，四边形OBCD为平行四边形，OD=2，∠DOB=60°，以OD为直径的⊙P经过点B，N为BC边上任意一点（精英家教网与点B，点C不重合），过N点作直线MN⊥x轴，垂足为A，交DC边于点M，设OA=t，△OMN的面积为S．
    （1）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）求点D的坐标与直线BC的解析式；
    （3）当S=
    3
    		3
    8
    时，试判定直线MN与⊙P的位置关系，并说明理由．
    分析：利用圆内接三角形的性质得出∠DBO=90°，从而求出D的坐标；运用圆与直线的线切知识求出直线MN与⊙P的关系．
    解答：精英家教网解：如下图所示：连接DB，BP，

    （1）由于ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A
    所以AM=BD=
    		3
    ，∠CBA=∠DOB=60°
    在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=
    		3
    （t-1）
    所以MN=AM-AN=
    		3
    （2-t）
    即：△OMN的面积为s=
    1
    2
    ×MN×OA=
    1
    2
    ×
    		3
    （2-t）t=
    		3
    2
    t（2-t）
    又∵点N为BC边上任意一点与点B、C不重合
    ∴t的取值范围为：1＜t＜2；

    （2）由于⊙OP过点B，OD是圆的直径，所以∠DBO=90°
    在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×
    1
    2
    =1；DB=OD×sin∠DOB=2×
    		3
    2
    =
    		3

    所以点D的坐标为：D（1，
    		3
    ）；
    设直线BC为y=kx+b，
    ∴
    -2k+b=
    		3
    -k+b=0
    ，∴
    k=-
    		3
    b=-
    		3
    ，
    ∴直线BC的解析式为：y=-
    		3
    x-
    		3
    ．

    （3）当s=
    		3
    2
    t（2-t）=
    3
    		3
    8
    时，
    又1＜t＜2，∴t=
    3
    2

    圆心P到MN的距离=
    1
    2
    （DM+OA）=
    1
    2
    ×（
    3
    2
    -1+
    3
    2
    ）=1=
    1
    2
    OD，
    所以此时直线MN与⊙P相切．
    点评：本题主要考查了含30度角的直角三角形及圆内接三角形的性质和直线与圆相切的知识，有一定难度，注意熟练掌握各部分知识并灵活运用时关键．
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    （1）求出D、B、C点的坐标和过B、C两点的一次函数的解析式．
    （2）求S与t之间的函数关系式及t的范围．
    （3）当S=
    3
    		3
    8
    时，试判定直线MN与⊙P的位置关系．

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    ．

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    （2）求点D的坐标与直线BC的解析式；
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    （2）求S与t之间的函数关系式及t的范围．
    （3）当S=数学公式时，试判定直线MN与⊙P的位置关系．

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