Question

17．（1）解题探究
已知三角形ABC（图⑤），探究∠A+∠B+∠C等于多少度？（提示：过一点作平行线）
（2）发现规律
如图①，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，试说明∠A+∠B与∠1的关系？
（3）运用规律
利用以上规律，快速探究以下各图：
当AB∥CD时，∠A，∠C，∠P的关系式为（直接填空，不要证明过程）：
∠C=∠A+∠P，∠C=∠BAP-∠P，∠C=∠P+180°-∠A．

Answer 1

分析 （1）延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A=∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证；
（2）根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图⑤，延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∵BA∥CE，
∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）；
（2）如图①过C作CE∥AB，
∴∠2=∠A，∠3=∠B，
∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B，
（3）如图②，∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠A+∠P，
∴∠C=∠A+∠P；
如图③，延长BA交PC于E，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∴∠1=∠C=∠BAP-∠P；
如图④，
延长CD交AP于E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AEC=∠P+（180°-∠PCD），
∴∠PCD=∠P+180°-∠A．
故答案为：∠A+∠P，∠BAP-∠P，∠P+180°-∠A．

点评 本题考查三角形外角的性质及平行线的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．