Question

（2012•张家港市模拟）在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，AD⊥BD，点M是AB边上的一个动点，ME平分∠DMB，与BD、CD分别交于点E、F．

（1）当AM=DM时，证明四边形AMFD是平行四边形；（如图1）
（2）当DM⊥AB时，则ME：EF的值为

4：3

；（如图2）
（3）当AM为何值时，△DME∽△DBM？（如图3）

Answer 1

分析：（1）首先利用等边对等角和三角形的外角的性质即可证得∠2=∠3，则AD∥MF，则根据平行四边形的定义即可证得；
（2）首先利用摄影定理求得AM的长，当DM⊥AB时，在直角△ADM中利用勾股定理求得DM的长，则BM即可求得，然后根据△DEF∽△BEM，相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）当△DME∽△DBM时，易证△EBM是等腰三角形，过E作EH⊥MB于H，则H是BM的中点，根据平行线分线段成比例定理即可求得ED的长，则BH的长度可以求得，进而根据AM=AB-2BH即可求解．

解答：证明：（1）∵AM=DM，
∴∠1=∠2，
又∵ME平分∠DMB，
∴∠3=∠4，
又∵∠DMB=∠1+∠2，
∴∠2=∠3，
∴AD∥MF，
又∵AM∥FD，
∴四边形AMFD是平行四边形；
（2）∵在直角△ADM中，DM⊥AB，
∴AD²=AB•AM，
∴AM=

AD2

AB

=

36

10

=3.6cm，
∴MB=AB-AM=10-3.6=6.4cm，
∴DM=

AD2-AM2

=

62-3.62

=4.8cm，
∵ME平分∠DMB，即∠DME=∠BME，
又∵AB∥CD，
∴∠BME=∠DFM
∴∠DME=∠DFM
∴DF=DM=4.8cm，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BEM，
∴ME：EF=MB：DF=6.4：4.8=4：3；
故答案是：4：3．
（3）∵△DME∽△DBM
∴

DM

DB

=

ME

BM

=

ED

MD

，且∠3=∠5，
又∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∴EM=EB，过E作EH⊥MB于H，则H为MB的中点，
∴

ME

BM

=

EB

BM

=

EB

2BH

，
又

EB

BH

=

AB

BD

=

5

4

∴

ME

BM

=

5

8

，
∵DB=8，
∴

DM

8

=

5

8

，则DM=5，
把DM=5代入

DM

DB

=

ED

MD

得：

5

8

=

ED

5

，
∴ED=

25

8

，
∴EB=8-

25

8

=

39

8

，
∴BH=EB•cosB=

39

8

×

4

5

=

39

10

，
∴AM=AB-2BH=10-2×

39

10

=

11

5

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确求得DM的长度是关键．