Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．

Answer 1

20
分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．
解答：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
在Rt△ACF中，AF²+CF²=AC²，即（13-x）²+6²=（2x）²，
解得：x=5，
故四边形BDFG的周长=4GF=20．
故答案为：20．
点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．