Question

1．（1）阅读下列材料，并解答后面的问题：
∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，$\frac{1}{17×19}$=（-$\frac{1}{19}$）
∴$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+$…+$\frac{1}{17×19}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}（\frac{1}{17}$-$\frac{1}{19}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{19}）$
=$\frac{9}{19}$
①在式子$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…$中，第五项为$\frac{1}{9×11}$，第n项为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．
②解方程：$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$=$\frac{5}{x+100}$（有计算过程）

Answer 1

分析 ①根据式子$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…$中，前两项分别是：$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$，判断出第五项、第n项分别为多少即可．
②首先化简$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$，然后根据一元二次方程的解法，求出方程的解是多少即可．

解答 解：①∵$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$，…，
∴第五项为：$\frac{1}{9×11}$，第n项为：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

②$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$，
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}-$$\frac{1}{x+2}$+…$+\frac{1}{x+99}$-$\frac{1}{x+100}$
=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100}$
=$\frac{100}{x（x+100）}$
=$\frac{5}{x+100}$
∴x²+80x-2000=0，
解得x=-100或x=20，
∵x+100≠0，
∴x≠100，
∴方程$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{1}{（x+1）（x+2）}+…+\frac{1}{（x+99）（x+100）}$=$\frac{5}{x+100}$的解是：x=20．
故答案为：$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．

点评 （1）此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减法．
（2）此题还考查了一元二次方程的解法，要熟练掌握．