Question

5．如图，∠A=∠D=90°，CD平分∠ACB，AB与CD相交于点E．
（1）证明：BD²=DC•DE；
（2）当$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$时，①证明：BD=CE；②求tan∠DBE的值．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠DBE=∠ACE，由角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，推出△BDE∽△BCD，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{DE}=\frac{CD}{BD}$，即可得到结论；
（2）延长CA交BD的延长线于M，于是得到△ACE∽△CDM，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BM}=\frac{1}{2}$，求得BM=2CE，通过△BCD≌△CDM，得到BD=DM，即可得到结论；
（3）设BD=CE=a，DE=b，由BD²=DE•DC，于是得到a²=b（a+b，解方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠A=∠D=90°，∠BED=∠AEC，
∴∠DBE=∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∴△BDE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{CD}{BD}$，
∴BD²=CD•DE；
（2）延长CA交BD的延长线于M，
∴△ACE∽△CDM，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴BM=2CE，
在△CDB与△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠MCD}\\{CD=CD}\\{∠BDC=∠MDC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CDM，
∴BD=DM，
∴BM=2BD，
∴BD=CE；
（3）设BD=CE=a，DE=b，
∵BD²=DE•DC，
∴a²=b（a+b），
∴a²-ab-b²=0，
∴b²+ab-a²=0，
∴（$\frac{b}{a}$）²+$\frac{b}{a}$-1=0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴tan∠DBE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．