如图1和图2.△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.AD⊥BC.垂足是D.AE平分∠BAD.交BC于点E．过点A作AF⊥AE.过点C作CF∥AD.两直线交于点F．(1)在图1中.证明:△ACF≌△ABE,(2)在图2中.∠ACB的平分线交AB于点M.交AD于点N．①求证:四边形ANCF是平行四边形,②求证:ME=MA,③四边形ANCF是不是菱形?若是.请证明,若不是.请� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图1和图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．过点A作AF⊥AE，过点C作CF∥AD，两直线交于点F．
（1）在图1中，证明：△ACF≌△ABE；
（2）在图2中，∠ACB的平分线交AB于点M，交AD于点N．
①求证：四边形ANCF是平行四边形；
②求证：ME=MA；
③四边形ANCF是不是菱形？若是，请证明；若不是，请简要说明理由．

分析（1）证明∠B=∠ACF，∠CAF=∠BAE，AB=AC，得到△ACF≌△ABE；
（2）①证明AF∥CN，AD∥FC，得到四边形ANCF是平行四边形；
②证明△ACM≌△ECM，得到AM=EM；
③证明FA≠FC，得到结论．

解答证明：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAB=45°，
∵CF∥AD，
∴∠DAC=∠ACF=45°，
∴∠B=∠ACF=45°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=90°，
∠BAC=∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠CAF=∠BAE，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠B}\\{∠CAF=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABE；
（2）①证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=45°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=22.5°，
∵△ACF≌△ABE；
∴∠BAE=∠CAF=22.5°，
∵∠ACB的平分线交AB于点M
∴∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∵∠ACM=∠CAF=22.5°，
∴AF∥CN，
∵AD∥FC，
∴四边形ANCF是平行四边形；
②证明：∵∠BAC=90°，∠BAE=22.5°，
∴∠EAC=67.5°，
∵∠BCA=45°，
∴∠AEC=67.5°，
∵∠EAC=∠AEC=67.5°，
∴CA=CE，
∵∠ACB的平分线交AB于点M，
∴∠ACM=∠ECM，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CE}\\{∠ACM=∠ECM}\\{MC=MC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ECM，
∴AM=EM，
③答：不是．
理由：∵∠CAF=22.5°，∠ACF=45°，
∴FA≠FC，
∴四边形ANCF不是菱形．

点评本题考查的是全等三角形的判定、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握各自的判定定理是解题的关键，等腰直角三角形的两底角相等且都是45°．

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