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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），现有两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．

    （1）求AD、BC之间的距离和sin∠DAB的值；
    （2）设四边形CDPQ的面积为S．
    ①求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
    ②若存在某一时刻，点P、Q同时在反比例函数y=
    k
    x
    的图象上，求此时S的值．
    考点：反比例函数综合题
    专题：
    分析：（1）首先过点B作BH⊥AD于点H，由直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），可求得菱形的边长与面积，继而求得高；则可求得sin∠DAB的值；
    （2）①分别从当0≤t≤5时与当5＜t≤10时，去分析求解即可求得答案；
    ②首先根据题意求得t的值，然后代入①中的面积公式，即可求得答案．
    解答：解：（1）过点B作BH⊥AD于点H，
    ∵C、D两点的坐标分别为（4，0）、（0，3），
    ∴OC=4，OD=3，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC=8，BD=6，AC⊥BD，
    ∴AB=AD=CD=
    		OC2+OD2
    =5，
    则S菱形ABCD=AD•BH=
    1
    2
    AC•BD，
    ∴5BH=
    1
    2
    ×6×8=24，
    解得：BH=4.8；
    ∴sin∠DAB=
    BH
    AB
    =
    24
    25
    ；

    （2）①如图，当0≤t≤5时，
    根据题意得：AP=t，CQ=2t，
    则PD=5-t，
    ∴S梯形CDPQ=
    1
    2
    （PD+CQ）•BH=
    1
    2
    ×（5-t+2t）×4.8=2.4t+12；
    当5＜t≤10时，过点Q作QN⊥AD，并反向延长交BC于点M，
    ∵AD∥BC，
    ∴QM⊥BC，
    根据题意得：AP=t，BQ=2t-5，
    则AQ=AB-BQ=10-2t，
    ∴QN=AQ•sin∠DAB=
    24
    25
    （10-2t），QM=BQ•sin∠QBM=
    24
    25
    （2t-5），
    ∴S四边形CDPQ=S菱形ABCD-S△APQ-S△BCQ=24-
    1
    2
    AP•QN-
    1
    2
    BC•QM=24-
    1
    2
    ×
    24
    25
    ×t×（10-2t）-
    1
    2
    ×5×
    24
    25
    （2t-5）=
    24
    25
    t2-
    48
    5
    t+36；

    ②若点P、Q同时在反比例函数y=
    k
    x
    的图象上，则需P与Q分别位于二，四象限，
    ∵点P的坐标为：（
    4
    5
    t-4，
    3
    5
    t），点Q（4-
    8
    5
    t，-
    6
    5
    t）；
    ∴
    3
    5
    t×（
    4
    5
    t-4）=-
    6
    5
    t×（4-
    8
    5
    t），
    解得：t=
    5
    3
    或t=0（舍去），
    ∴S=2.4t+12=2.4×
    5
    3
    +12=16．
    点评：此题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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    		5
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    		3
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