Question

20．如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）当AD⊥BD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，进而可得CF=AE，然后利用SAS定理判定△ADE≌△CBF；
（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得DE=EB，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴CF=AE，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）解：菱形，
∵△ADE≌△CBF，
∴ED=BF，
∵DF=EB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=EB，
∴四边形BFDE是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．