Question

7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、AB是半圆的弦，点D是⊙O的切点．
（1）若PA=2，AD=BO．请求出△BOD的面积；
（2）在线段PB上取点M，使得DM⊥PB，若tan∠DPB=1，DM=$\sqrt{2}$．请求出弧BD的长度．

Answer 1

分析 （1）由AB是半圆的直径，点D是⊙O的切点，得到∠PDA=∠BDO根据AD=BO，推出△AOD是正三角形，得出△PAD≌△BOD，证得PA=DA，即可求得结果．
（2）由tan∠DPB=1，得到∠DPO=∠DOP=45°，由于DM⊥PB，得到$DM=PM=\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$，DO=2，由∠DOB=135°就可以解出弧BD的长度．

解答 （1）解：∵AB是半圆的直径，点D是⊙O的切点，
∴∠PDA=∠BDO
∵AD=BO，
∴△AOD是正三角形，
∴AD=OD，∠PAD=∠BOD，∠APD=30°，
在△PAD与△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDA=∠B}\\{AD=OB}\\{∠PAD=∠DOB}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△BOD，
∴PA=DA，
∵PA=2，∠APD=30°，
∴S_△PAD=S_△BOD=$\sqrt{3}$，∴S_△BOD=$\sqrt{3}$；

（2）解：∵点D是⊙O的切点，tan∠DPB=1，
∴∠DPO=∠DOP=45°，
∵DM⊥PB，
∴$DM=PM=\sqrt{2}$，OP=2$\sqrt{2}$，
∴DO=2，
∵∠DOB=135°，
∴由弧长计算公式得：$l=\frac{nπr}{180}=\frac{135π}{180}×2=\frac{3}{2}π$，
∴弧BD的长度是$\frac{3}{2}π$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的面积，弧长的计算，锐角三角函数，熟记公式是解题的关键．