Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b²-4ac＜0；②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3；③2a+b=0；④当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．

解答 解：函数图象与x轴有2个交点，则b²-4ac＞0，故①错误；
函数的对称轴是x=1，则与x轴的另一个交点是（3，0），
则方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-1，x₂=3，故②正确；
函数的对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$=1，则2a+b=0成立，故③正确；
函数与x轴的交点是（-1，0）和（3，0）则当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．