Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝20cm，CD＝25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A→D→C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A→B→C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm²），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD＝BE，DE＝AB＝20cm．

在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC＝15cm．由题意得＝，∴＝．解得AD＝5． ∴梯形ABCD的面积＝＝＝250（cm²）．

（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．

①当0＜t≤时，P在AD上运动，Q在AB上运动．

此时四边形APCQ的面积S＝S_梯形ABCD－S_△BCQ－S_△CDP＝70t．

②当＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动．

此时四边形APCQ的面积S＝S_梯形ABCD－S_△BCQ－S_△ADP＝34t＋60．

③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动．

此时四边形APCQ的面积S＝S_梯形ABCD－S_△ABQ－S_△ADP＝－46t＋460．

（3）①当0＜t≤时，由S＝70t＝250×，解得t＝．

②当＜t≤5时，由S＝34t＋60＝250×，解得t＝．

又∵＜t≤5，∴t＝不合题意，舍去．

③当5＜t＜10时，由S＝－46t＋460＝250×，解得t＝．

    ∴当t＝或t＝时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的．