Question

12．一根长为20cm的铁丝围成一直角三角形，三边长分别为多少时三角形的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 设直角三角形的两直角边分别为acm、bcm，斜边长为ccm，根据勾股定理可得出a、b、c间的关系，结合三角形的周长为20cm，即可得出关于c的一元二次不等式，解不等式即可得出c的取值范围，再根据三角形的面积结合a、b、c间的关系即可得出三角形面积S关于c的一次函数关系式，根据一次函数的性质以及c的取值范围即可求出S的最大值，再结合三角形的周长以及ab与c之间的关系即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出当S去最大值时三角形的三边长．

解答 解：设直角三角形的两直角边分别为acm、bcm，斜边长为ccm，
由勾股定理可得：a²+b²=c²，
∵a+b+c=20，
∴20-c=a+b，
将其两边同时平方得：（20-c）²=（a+b）²，即400-40c+c²=a²+b²+2ab=c²+2ab，
∴400-40c=2ab≤a²+b²=c²，
整理得：c²+40c≥400，
∴c²+40c+400=（c+20）²≥800，
∵c＞0，
∴c≥20$\sqrt{2}$-20．
∵400-40c=2ab，
∴三角形面积S=$\frac{1}{2}$ab=100-10c，
∵-10＜0，
∴当c取最小值时，S取最大值，
∴c=20$\sqrt{2}$-20时，S_最大=100-10（20$\sqrt{2}$-20）=300-200$\sqrt{2}$．
当c=20$\sqrt{2}$-20时，有$\left\{\begin{array}{l}{ab=600-400\sqrt{2}}\\{a+b=40-20\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=b=20-10$\sqrt{2}$．
故当直角三角形的两直角边均为（20-10$\sqrt{2}$）cm、斜边长为（20$\sqrt{2}$-20）cm时，三角形的面积最大，最大面积为（300-200$\sqrt{2}$）cm²．

点评 本题考查了勾股定理、一次函数的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是找出三角形的面积S关于斜边c的一次函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，勾股定理以及三角形的面积公式找出三角形的面积关于斜边的函数关系式是关键．