Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；  
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圆的直径．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质、圆周角、弧、弦之间的关系得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，证明结论；
（2）根据勾股定理求出AB，设CD=DE=x，根据勾股定理列出方程，求出x，计算即可．

解答 （1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{ED}$，
∴CD=ED
∵∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，
∴AC=AE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
BE=10-AE=10-6=4，
设CD=DE=x，
BD=8-x，
在Rt△BDE中．BD²=DE²+BE²
（8-x）²+x²=4²
x=3，即BD=3，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、灵活运用勾股定理是解题的关键．