Question

2．如图（1），在平面直角坐标系xOy中，?OABC的顶点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，2），点P在射线OA上沿OA方向以2个单位长度/s的速度向右运动，点Q在线段AB上沿AB方向以$\sqrt{2}$个单位长度/s的速度从点A向点B运动，设点Q运动的时间为t s（0≤t≤2），射线PQ交射线CB于点D，连接CP．
（1）求出过O、A、B三点的抛物线的函数关系式；
（2）当0＜t＜1时，求出△PAQ的面积 S与t的函数关系式，并求出当t取何值时，S有最大值；
（3）在点P运动的过程中，∠CPD是一个定值，这个定值是45°；并求出当△PCD为等腰三角形时t的值；
（4）当1≤t≤2时，线段DP的中点M运动的总路程为1．

Answer 1

分析 （1）由题意A（2，0），C（2，2），B（4，2），设过O、A、B三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-2），代入点B即可求出a．
（2）s=$\frac{1}{2}$•PA•QM，用t表示PA、QM代入即可．
（3）猜想是特殊角45°，由∠CPD+∠DPM=∠COP+∠OCP可知，只要证明∠OCP=∠DPM，即△PCN∽△QPM即可．
（4）观察可知点M运动路径是线段，轨迹三角形中位线定理即可解决．

解答 解：（1）如图1中，由题意A（2，0），C（2，2），B（4，2），
设过O、A、B三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-2），点B代入得到a=$\frac{1}{4}$，
∴过O、A、B三点的抛物线的函数关系式为：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x．
（2）如图1，作QM⊥x轴垂足为M，
∵AO=OC，∠OAC=90°，
∴∠COA=45°，
∵OC∥AB，
∴∠BAM=∠COA=45°，
∵AQ=$\sqrt{2}$t，
∴AM=QM=t，
∴0＜t＜1时，求出△PAQ的面积 S=$\frac{1}{2}$•PA•QM=$\frac{1}{2}$•（2-2t）•t=-t²+t．
（3）如图1中，作PN⊥OC垂足为N，
∵∠PON=45°，OP=2t，
∴ON=PN=$\sqrt{2}$t，NC=2-$\sqrt{2}$t，
∵$\frac{NC}{PM}$=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{2-2t+t}$=$\sqrt{2}$，$\frac{PN}{QM}=\frac{\sqrt{2}t}{t}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{NC}{PM}=\frac{PN}{QM}$，∵∠PNC=∠PMQ=90°，
∴△PCN∽△QPM，
∴∠NCP=∠QPM，
∵∠CPM=∠COP+∠NCP=∠CPD+∠QPM，
∴∠CPD=45°．
故答案为45°．
①当OP=OA时△PCD是等腰三角形，此时：2t=2，t=1．
②当OP=OC时△PCD是等腰三角形，此时2t=2$\sqrt{2}$，t=$\sqrt{2}$．
③当OP=2OA时△PCD是等腰三角形，此时2t=4，t=2．
综上所述：t=1s或$\sqrt{2}$s或2s时，△PCD是等腰三角形．
（4）如图2中，点M运动的轨迹是线段M₁M₂，
∵AM₁=BM₁，PM₂=BM₂，
∴M₁M₂=$\frac{1}{2}$AP=1．
故答案为1．

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，学会猜想，分类讨论的思想是解决问题的关键．